Introducción
Las ecuaciones diferenciales surgen con el nacimiento del cálculo en el siglo XVII; desde ese entonces se han utilizado para modelar diversos fenómenos físicos como el movimiento de partículas sometidas a fuerzas,movimiento planetario, entre muchos otros. Actualmente constituyen una de las herramientas más utilizadaspor científicos e ingenieros para la modelación, ya que su sencillez permite relacionar los cambios que sufren las variables que describen fenómenos físicos, biológicos, sociales, etcétera. El ámbito en donde las ecuaciones diferenciales (ED) son aplicables es amplio, por esa razón es necesario contar con un marco base que permita conocer los aspectos fundamentales de las ED y sus soluciones para, posteriormente, utilizarlas en la modelación, donde es posible percibir la belleza de esta herramienta.
En este curso se revisan los métodos clásicos de solución de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en diversas áreas del conocimiento humano. El curso está dividido en siete unidadess, dos de ellas dedicadas a las aplicaciones y los otros a discutir con precisión los algoritmos y estrategias de solución.
Los temas del curso son:
En este curso se revisan los métodos clásicos de solución de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en diversas áreas del conocimiento humano. El curso está dividido en siete unidadess, dos de ellas dedicadas a las aplicaciones y los otros a discutir con precisión los algoritmos y estrategias de solución.
Los temas del curso son:
- Ecuaciones diferenciales de primer orden, Aquí se revisan los métodos básicos para resolve las ED de primer orden, como son: ED de variables separables, lineales, de Bernoulli, homogéneas y exactas. También se establece el concepto de factor integrante que permite transformar una ED no exacta en otra que sí es exacta.
- Aplicaciones de ED de primer orden, Aquí se modelan y resuelven diversas situaciones mediante ecuaciones diferenciales. Algunas de las aplicaciones que se estudian son los modelos deMalthus y logístico para el crecimiento de poblaciones y el método que permite construir una familia de trayectorias ortogonales a una familia de trayectorias dadas. También se utilizan ED para modelar fenómenos físicos como la ley de Enfriamiento de Newton y el decaimiento radiactivo así como problemas de mezclas.
- Ecuaciones diferenciales de orden superior, aquí se establecen las bases para estudiar las ED de orden superior, en particular se estudian las ED lineales de segundo orden. Iniciamos con conceptos como dependencia e independencia lineal y superposición de soluciones, y establecemos el teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para ED lineales. Una buena parte de la discusión se centra en estudiar los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros. En el primero de ellos se establece una estrategia basada en las características de la ED para proponer la forma de la solución y posteriormente determinar dicha solución. En el segundo método se parte de una combinación lineal de soluciones linealmente independientes de la ED, que llamaremos homogénea, para proponer la solución particular mediante la variación de las constantes que nos aparecen en la primera solución. Finalmente, se presentan la teoría y ejemplos de ED lineales de orden superior a dos.
- Aplicaciones de ED de orden superior, se analizan dos aplicaciones de las ED lineales de orden superior, vibraciones mecánicas y circuitos eléctricos. Dedicaremos un amplio espacio al análisis de las diferentes soluciones que pueden aparecer al resolver un sistema mecánico formado por un masa, un amortiguador y un resorte sometidos en general a una fuerza de excitación. Posteriormente estudiamos los diferentes tipos de circuitos en serie que contienen un resistor, un capacitor y/o un inductor; todos los circuitos posibles con estas características se pueden modelar con ED lineales de primer o segundo orden.
- Transformada de Laplace, se presenta la transformada de Laplace y su uso en la solución de ED lineales. La idea del método es transformar la ED en una ecuación algebraica en un espacio donde se pueden manipular y despejar la transformada de la solución; después al aplicar la transformada inversa se obtiene la solución de la ED original. El método utiliza una estrategia muy simple: pasar a un espacio donde determinar la solución sea más simple y después regresar al espacio original. Con este método resolveremos no sólo ecuaciones lineales de orden superior sino también sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrodiferenciales.
- Métodos numéricos, se presentan métodos de aproximación de la solución de ED de primer orden. Tres son los métodos que discutiremos, a saber: el método de Euler, el método de Euler mejorado y el método de Runge–Kutta, equivalentes a utilizar aproximaciones lineales, cuadráticas o cuárticas, respectivamente, de la solución de la ecuación diferencial.